Exponentiële formule opstellen met een onbekende groeifactor

Exponentiële formules (ook wel exponentiële vergelijkingen genoemd) worden toegepast om een exponentiële verbanden tussen verschillende variabelen weer te geven. Een voorbeeld hiervan is de rente die je op een bankrekening ontvangt (als je de ontvangen rente op de rekening laat staan) of het aantal bacteriën in een kolonie dat zich exponentieel vermenigvuldigt. Wanneer de exponentiële groeifactor niet bekend is moet deze door middel van minstens twee waarnemingen worden achterhaald. Er bestaan verschillende typen sommen waarin exponentiële formules moeten worden opgesteld. Dit artikel behandelt de variant waar de groeifactor onbekend is en van twee punten in de tijd de afhankelijke- en onafhankelijke variabele bekend zijn.

In een exponentiële vergelijking wordt een bepaald getal “tot de macht” een ander getal gedaan. Machtsverheffen is het aantal maal dat je het getal met zichzelf vermenigvuldigt. Dit wordt aangeduid met een “^”. Als voorbeeld:

3^2 = 3*3 = 9
3^4 = 3*3*3*3 = 81

Het opstellen en oplossen van een som met een exponentiële vergelijking zoals boven beschreven bestaat uit de volgende 8 stappen:

• Stap 1: Schrijf de formule y = b*g^t op en schrijf onder elkaar “y =”; “t =”; “g =” en “b =”
• Stap 2: Bepaal wat er berekend moet worden en vul dit in voor y
• Stap 3: Bepaal waarvan y (wat berekend moet worden) afhankelijk is en vul dit in voor t
• Stap 4: Bepaal de waarden voor y1, y2, t1 en t2
• Stap 5: Bereken de waarde van groeifactor g via g = (y2/y1)^(1/(t2-t1))
• Stap 6: Bepaal de waarde voor b door een y1 en t1 in te vullen in de formule
• Stap 7: Stel de vergelijking op
• Stap 8: (indien van toepassing) Los de vergelijking op

Hoe een exponentiële vergelijking moet worden opgesteld aan de hand van dit stappenplan zal door middel van een voorbeeld worden uitgelegd.

“Jan heeft toen hij kind was geld gestort op een spaarrekening en heeft sinds dien niets meer bijgestort of opgenomen. Nadat Jan 2 jaar had gespaard stond er EUR 110,25 op zijn rekening. Jan wil nu 15 jaar nadat hij is begonnen met sparen het geld opnemen. Er staat nu EUR 207,89 op de rekening. Stel de exponentiële formule op voor de hoeveelheid euro op de rekening E afhankelijk van het aantal gespaarde jaren J. Bereken ook hoeveel euro Jan op de rekening heeft als hij nog 5 jaar doorspaart (na 20 jaar)”

Stap 1: Het opschrijven van de vergelijking

Schrijf zoals beschreven in het stappenplan (boven) het volgende op:

y = b*g^t

y =

t =

g =
b =

Stap 2: Bepalen wat er berekend moet worden

In deze vraag wordt gevraagd de hoeveelheid euro E te berekenen. Dit vullen we in voor y. Dus:

y = E

t =
g =
b =

Stap 3: Het variabele deel bepalen

In deze vraag is de hoeveelheid euro E afhankelijk van het aantal jaren J dat Jan heeft gespaard. Dit vullen we in voor t. Dus:

y = E

t = J

g =
b =

Stap 4: De waardes van de variabelen op verschillende punten bepalen

In deze stap moeten we de variabelen y en t op verschillende punten bepalen. We weten dat het hier om de hoeveelheid euro E na verschillende jaren sparen J gaat.

In de som is gegeven dat na 2 jaar sparen Jan EUR 110,25 op zijn rekening heeft staan. y1 (hetzelfde als E1, de hoeveelheid euro op tijdstip 1) is daarom 110,25 en t1 (hetzelfde als J1, het aantal jaren op tijdstip 1) is daarom 2 (jaar). Dus:

y1 = 110,25

t1 = 2

Voor het andere tijdstip in de som wordt gegeven dat na 15 jaar er EUR 207,89 op de rekening staat. y2 (hetzelfde als E2, de hoeveelheid euro op tijdstip 2) is dus 207,89 en t2 (hetzelfde als J2, het aantal jaren op tijdstip 2) is daarom 15 (jaar). Dus:

y2 = 207,89

t2 = 15

Stap 5: Het bepalen van de groeifactor

Om de groeifactor g te bepalen gebruiken we de formule g = (y2/y1)^(1/(t2-t1)). Hier vullen we de waarden voor y1, y2, t1 en t2 uit stap 4 in. Uit stap 4 volgt:

y1 = 110,25
t1 = 2
y2 = 207,89
t2 = 15

Dit kunnen we invullen in de formule van voor g:

g = (y2/y1)^(1/(t2-t1)) = (207,89/110,25)^(1/(15-2))

Oplossen voor g geeft:

g = (207,89/110,25)^(1/(15-2)) = 1.886^(1/13) = 1,05

De groeifactor g is 1,05. Dit betekend een (exponentiële ) groei van 5% per jaar, ofwel 5% rente op de spaarrekening van Jan.

Dus:

y = E
t = J

g = 1,05

b =

Stap 6: Het bepalen van de beginwaarde

De beginwaarde b kunnen we uitrekenen door y1 en t1 in te vullen in de formule en op te lossen voor b. Je mag ook y2 en t2 gebruiken, dit geeft hetzelfde resultaat.

We hebben dus de formule y = b*g^t, waarin we y1 = 110.25 uit stap 4 voor y invullen, t1 = 2 uit stap 4 voor t en g = 1,05 uit stap 5:

y = b*g^t wordt y1 = b*g^t1 wordt 110.25 = b * 1,05^2

Nu moeten we oplossen voor b. Dit geeft:

110.25 = b * 1,05^2 wordt 110.25 = b*1.1025 wordt b = 110.25/1.1025 = 100

b is dus 100. Dus:

y = E
t = J
g = 1,05
b = 100

Stap 7: Het opstellen van de vergelijking

Nu alle onderdelen van de vergelijking bekend zijn kunnen we het exponentieel verband tussen het aantal euro E en de gespaarde tijd in jaren J opstellen. We combineren de formule y = b*g^t met het lijstje onderaan stap 6. Dus:

y = b*g^t wordt E = 100*1,05^J

Stap 8: Het oplossen van de vergelijking

Er wordt gevraagd hoeveel euro Jan op zijn spaarrekening heeft als hij 20 jaar heeft gespaard. Dit kan worden uitgerekend door de opgestelde formule in stap 7 in te vullen met J = 20. Dus:

J = 20 invullen in E = 100*1,05^J geeft E = 100*1,05^20 = 265,33

Na 20 jaar sparen heeft Jan dus 265,33 euro op zijn rekening staan.