Wiskunde functieonderzoek

Functieonderzoek is een onderdeel van wiskunde dat beheerst moet worden in de bovenbouw. In dit artikel bekijken we achtereenvolgens nulpunten, de afgeleide, maxima en minima, buigpunten, en asymptoten. Uiteindelijk moet de grafiek van de functie getekend worden, hiervoor moet je eerst de eigenschappen van de functie onderzoeken. Voor moeilijke functies kun je altijd de GR (grafische rekenmachine) gebruiken. Aan de hand van voorbeelden wordt uitgelegd hoe het onderzoek in zijn werk gaat.

Functie's

Als voorbeeldfunctie's kiezen we de volgende functie's

• f(x) = (x-4)² - 1
• g(x) = 3x^4 - 16x³ + 24x²
• h(x) = 10 / (x²-9)
• i(x) = 1/x
• j(x) = 3x² - x³

---

domein

Voor functieonderzoek is het van belang om het domein van een functie te onderzoeken. Het domein is het gebied waarop een bepaalde functie gedefinieerd is. Het kan voorkomen dat een functie voor zekere waarde van variabele x niet bestaat. Zo bestaat h(x) = 10 / (x²-9) niet voor x=3 en x=-3, omdat delen door nul niet is toegestaan. Men schrijft ook wel:

• het domein van h(x) is R | {-3,3}

R is de verzameling van reële getallen.

nulpunten

Een functie snijdt de x-as in de zogenaamde nulpunten. Om deze punten te vinden moeten we de functie gelijk te stellen aan nul en de punten uit te rekenen.

Stel f(x) = (x-4)² - 1.

Om de nulpunten te vinden stellen we : f(x) = (x-4)² - 1 = 0.
Oplossen levert x=3 of x=5. Deze waarden horen bij de nulpunten P (3,0) en Q (5,0).

stijgen en dalen

Om het verloop van een functie te begrijpen is het handig om te weten of een functie stijgt dan wel daalt. Hiervoor is het nodig dat we de afgeleide f ' (x) kennen.

• f ' (x) = ((x-4)² - 1)' = (x² - 8x + 15)' = 2x - 8
• een andere schrijfwijze is f ' (x) = df(x)/dx, of d/dx f(x)

Voor x kleiner dan 4 is deze functie negatief, voor x = 4 gelijk aan nul, en voor x groter dan 4 positief.
Als de afgeleide f ' (x) negatief is zal de functie dalend zijn; voor f ' (x) positief stijgend.
Dit wordt als volgt aangegeven:

• ----------------------(x=4)+++++++++++
• ......... dalend......... Ι ......... stijgend.........

De min geeft aan dat de richtingscoëfficiënt (rico) negatief is, voor de plus is het positief. Het gebied van (x = -∞), min oneindig, tot (x=4) noemt men ook wel het interval <-∞,4>. Voor hetzelfde gebied, maar dan tot en met (x = 4), schrijft men <-∞,4].

maxima en minima

Maxima en minima worden ook wel extrema genoemd. Wanneer de afgeleide f ' (x) negatief is, is een functie dalend; voor een interval f ' (x) positief is een functie stijgend.

Wat is er aan de hand bij f ' (x) = 0 ?
Wanneer de afgeleide = 0, dan is de functie niet stijgend of dalend; er is hier sprake van een maximum of minimum. De grafiek heeft (lokaal) een extreme waarde bereikt.

Wanneer de grafiek van dalend naar stijgend overgaat, is er sprake van een minimum; van stijgend naar dalend een maximum.

----------------------|+++++++++++ (x=minimum)
........dalend............stijgend.........

++++++++++++|---------------------- (x=maximum)
........stijgend..........dalend..........

Passen we deze regel toe op f(x) = (x-4)² - 1, dan vinden we f ' (x) = 2x-8 = 0. Oplossen levert x=4. Kleiner dan x=4 is de afgeleide negatief; groter dan x=4 positief. Er is hier sprake van het minimum M(4,-1).

• NB: wanneer een functie gedefinieerd is op een beperkt domein, dan leveren de grenzen van het domein lokale minima of maxima. Als een functie ophoudt in een randpunt, kan de functie daar niet verder dalen of stijgen.

buigpunten

Voor een buigpunt geldt dat de dubbele afgeleide f " (x)=0. Wanneer de afgeleide van een functie continu stijgend of dalend is maar tussendoor minder hard stijgt of daalt, dan kan er sprake zijn van een buigpunt. Het kenmerk van een buigpunt is dat de dubbele afgeleide f '' (x)=0.

• Een buigpunt geeft aan dat de richtingscoëfficiënt een maximum of minimum bereikt heeft.

Stel g(x) = 3x^4 - 16x³ + 24x². Voor de afgeleide vinden we 12x³ - 48x² + 48x. Gelijkstellen aan nul levert 12x³ - 48x² + 48x=0, of 12x(x² - 4x + 4)=0. De oplossingen zijn x=0 of x=2. De dubbele afgeleide is gelijk aan 36x² - 96x + 48; deze functie is ook nul voor x=2, dit is dus een buigpunt. Het verloop van de afgeleide ziet er als volgt uit:

----------------------(x=0)+++++++++++(x=2)+++++++++++
........dalend....(minimum)..stijgend...(buigpunt)...stijgend.....

We vinden een minimum M(0,0) en een buigpunt B(2,16).

asymptoten

Een asymptoot is een lijn of kromme waarnaar een functie willekeurig dicht kan naderen als de variabele x een zekere waarde nadert. Een asymptoot kan een rechte lijn zijn. Stel h(x) = 10 / (x²-9). Delen door nul niet is toegestaan. Voor x=-3 en x=3 zal h(x) niet bestaan, maar heeft de functie een verticale asymptoot. Als deze waarden van x genaderd worden zal h(x) naar oneindig of min oneindig gaan, want delen door iets heel kleins levert iets heel groots.

Wanneer x 'van boven' (hoger dan) 3 nadert zal (x²-9) positief zijn; 10 / (x²-9) nadert dan oneindig. Nadert x 'van onderen' (lager dan) 3 nadert dan is (x²-9) negatief; 10 / (x²-9) nadert dan min oneindig. In wiskundige taal:

• lim x↓3 h(x) = ∞
• lim x↑3 h(x) = -∞

Wanneer x oneindig nadert of min oneindig zal (x²-9) heel erg groot zijn. Delen door iets heel groots levert bijna nul. De grafiek zal de waarde nul naderen. Dus voor x gaat naar (min) oneindig heeft de grafiek een horizontale asymptoot (y=0). Men schrijft ook wel:

• lim x→∞ h(x) = 0
• lim x→-∞ h(x) = 0

In de hiernaast getekende grafiek word geïllustreerd wat een asymptoot precies is. De functie i(x) = 1/x zal de waarde nul naderen als x naar oneindig gaat.

---

grafiek tekenen

Wanneer we een grafiek willen tekenen, lopen we bovengenoemde punten af. De functie wordt achtereenvolgens onderzocht op domein, nulpunten, de afgeleide (stijgen en dalen), extrema en buigpunten, en asymptoten. Er kan een tabel worden toegevoegd om inzichtelijk te maken waar de verschillende punten van de grafiek liggen.

Stel j(x) = 3x² - x³.

1. domein. De functie is gedefinieerd voor R, er zijn geen beperkingen of vreemde punten.
2. nulpunten. Het oplossen van 3x² - x³ = 0 levert x=0 of x=3. Dus P(0,0) en R(3,0).
3. afgeleide. j ' (x) = 6x - 3x². Gelijk stellen aan nul 6x - 3x² = 0 levert: x=0 0f x=2. Het tekenverloopschema van de afgeleide ziet er als volgt uit: ------------------(x=0)++++++++(x=2)------------------ Dit betekent een minimum bij P(0,0) en een maximum bij (2,4).
4. buigpunten. De dubbele afgeleide j '' (x) = 6 - 6x. Gelijkstellen aan nul levert een buigpunt op voor x=1. Het tekenverloopschema van de dubbele afgeleide ziet er volgt uit: +++++++++(x=1)------------------ Het punt B(1,2) is een buigpunt; de grafiek zal op het interval [0,2] stijgen; tot x=1 stijgt ook de rico, daarna daalt de rico maar blijft positief tot x=2.
5. asymptoten. Het domein van j(x) is R; er zijn geen waarden waarvoor j(x) niet gedefinieerd is. Er zal dan ook geen verticale asymptoot zijn. Er zijn ook geen horizontale asymptoten want de functie gaat naar oneindig voor x min oneindig, en als x naar oneindig gaat zal de functie naar min oneindig gaan.
6. tabel. Door een aantal punten in te vullen krijgen we een beeld van hoe j(x) ongeveer zal verlopen:

De grafiek van j(x) kan nu getekend worden. We zien dat de extrema (minimum en maximum) lokaal zijn; de functie gaat zowel naar oneindig als min oneindig. De rico is op het gehele interval [0,2] positief, dus de functie is daar stijgend. Het buigpunt op P(1,2) geeft aan dat de rico stijgt op het interval [0,1] en op [1,2] daalt. De grafiek heeft geen asymptoten. Overal op R is de functie gedefinieerd en er zijn ook geen horizontale asymptoten. Klik op de grafiek om het plaatje vergroot te zien.

Dit laatste kan ook op de GR (grafische rekenmachine), als de functies wat moeilijker worden.

succes!