Machten: rekenregels en opgaven

Machten liggen in 4 vwo aan de grondslag van de meeste trucjes om de 'x' uit te rekenen, maar niet alleen in 4 vwo wordt de techniek rondom machten veel gebruikt. Ook op het havo en vmbo ligt de techniek ten grondslag aan een hoop verschillende manieren om de 'x' uit te rekenen. Het verschil zit hem er alleen in dat je op het vwo net wat moeilijkere opgaven krijgt dan op het havo en vmbo, maar op alle drie de niveau's moet je de techniek rondom machten onder de knie hebben.

Inhoud

• Machten
• Kwadraten
• De wortel van een macht
• Belang van de rekenregels
• Vermenigvuldigen
• Delen
• Machten isoleren
• Verschillende grondgetallen met dezelfde machten
• Tot de macht nul
• Tot een negatieve macht positief schrijven
• Wortel als macht schrijven
• Een overzicht van de zeven regels
• Antwoorden

Machten

Een macht geeft aan hoe vaak je een getal keer zichzelf moet doen. Als er staat 'drie tot de macht drie' oftewel 'bereken de derde macht van drie' dan moet je 3 * 3 * 3 uitrekenen. Het getal dat je tot een macht doet, wordt in de wiskunde het grondgetal genoemd. Een macht wordt altijd geschreven in de rechterbovenhoek van een getal zoals 3³, drie tot de macht drie. Op de computer wordt een macht als volgt geschreven 3^3, drie tot de macht drie. Het ^, dakje of accent circonflexe, geeft ook op de rekenmachine de mogelijkheid aan om iets tot de macht te berekenen. Op de rest van de pagina zal de notering met het ^ worden aangehouden.

Opgave 1

1. Wat is 5^2?
2. Wat is 3^4?
3. Wat is 7^7?

Kwadraten

Een kwadraat is simpel gezegd de tweede macht van een getal. Het lijkt een hele simpele berekening, maar kwadraten moet je goed snappen omdat ze veel voorkomen binnen de wiskunde. Bijvoorbeeld in de stelling van Pythagoras, a^2 * b^2 = c^2. Met deze formule is het mogelijk om onder andere de onbekende zijde van een rechthoekige driehoek, een driehoek met een hoek van negentig graden, te berekenen.

De wortel

Als je een kwadraat van een grondgetal hebt kun je ook het bijhorende grondgetal uitrekenen. Dit doe je door middel van worteltrekken, eigenlijk hoor je het volgende te zeggen: 'De tweede machtswortel van bijvoorbeeld twee'. Maar wiskundigen zijn lui en zeggen het volgende bij worteltrekken: 'De wortel van twee'. Om dit kort te noteren en in te voeren gebruik je √, het wortelteken. Onder de streep noteer je het getal waarvan je het grondgetal wil berekenen en linksboven zet je officieel een twee om aan te geven dat je een tweede machtswortel trekt, maar wiskundigen zijn lui en schrijven die twee niet.

Opgave 2

1. Wat is √4?
2. Wat is √9?
3. Wat is √16?

De wortel van een macht

Ook kun je het grondgetal berekenen van een getal dat tot de macht X is gedaan. Nu is het belangrijk dat je weet dat er oorspronkelijk een twee linksboven bij de wortel hoort te staan, maar dat men die normaal gesproken weglaat. Stel je hebt 32 en je wil weten welk grondgetal er is, die je tot de vijfde macht moet doen om 32 te krijgen. Hiervoor bestaat de vijfde machtswortel van 32, wat gelijk is aan 2 omdat 2^5 = 32. Vergeet niet om in het geval van een andere machtswortel dan een tweede machtswortel een getal linksboven de wortel te schrijven om aan te geven om welke machtswortel het gaat. Op de rekenmachine kun je onder het knopje math de wortel selecteren waarbij er linksboven een 'X' staat. Eenmaal geselecteerd kun je twee hokjes invullen, eentje voor het getal dat aangeeft welke machtswortel je wil trekken en in het andere hokje, onder de streep, kun je het getal invullen waarvan je de machtswortel wil trekken. De algemene notering op deze pagina zal X^√a zijn waarbij 'X' de macht uit de machtswortel aangeeft, zoals derde bij de derde machtswortel. Er staat dus niet bij bijvoorbeeld 4^√2 = vier tot de macht wortel twee, maar er staat de vierde machtswortel van twee.

Opgave 3

1. Wat is 3^√8?
2. Wat is 4^√4096?
3. Wat is 6^√32768?

Belang van de rekenregels

Vaak moet je voor wiskunde een 'x' uitrekenen en hiervoor is vaak de techniek rondom machten nodig. In totaal zijn er zeven regels voor verschillende dingen zoals het wegwerken van haakjes, wortels of negatieven machten, maar ook voor keer en gedeeld door. De laatste belangrijke regel is de regel over een getal tot de macht nul. Bij de volgende rekenregels in dit artikel wordt het volgende als standaard gebruikt:

• Het grondgetal is gelijk aan 'a' of 'd'.
• De machten zijn gelijk aan 'P' en 'Q'.

Vermenigvuldigen

Vermenigvuldigen van getallen tot een bepaalde macht kan alleen als het grondgetal hetzelfde is, het maakt niet uit of de machten verschillen want die tel je bij elkaar op. De algemene regel gaat als volgt:

• a^P * a^Q = a^(P+Q)

Bewijs

• 7^2 * 7^3 = 7 * 7 * 7 * 7 * 7 = 7^5 = 7^(2+3)

Opgave 4

1. Wat is 5^3 * 5^4?
2. Wat is 2^4 * 3^4?
3. Wat is 77^21 * 77^34?

Voor gevorderden

Bij bovenbouw wiskunde B op vwo-niveau moet je regelmatig ook stellingen bewijzen die alleen maar met letters zijn aangeven. Hierbij is het van belang dat je weet dat er met letters meer kan dan met getallen, als er namelijk twee letters achter elkaar staan in de wiskunde dan zit er een denkbeeldige * tussen. Dit heeft tot gevolg dat er bij een vermenigvuldiging met verschillende letters er een compacter antwoord kan worden gegevens dan als er verschillende grondgetallen zijn. Bijvoorbeeld:

• a^P * d^Q = a^Pd^Q

Het komt raar over, maar hou dit in je achterhoofd als je stellingen moet bewijzen, want bij bewijzen moet je letters gebruiken en niet getallen.

Delen

Delen werkt het tegenovergestelde als vermenigvuldigen. Als logisch gevolg hiervan tel je bij de delen de machten niet bij elkaar op, maar trek je ze van elkaar af. Bijvoorbeeld:

• a^P / a^Q = a^(P-Q)

Bewijs

• 7^3 - 7^2 = 7 * 7 * 7 / 7 * 7 = 7^1 = 7^(3-2) = 7 (Onderstreepte getallen kun je tegen elkaar wegstrepen)

Opgave 5

1. Wat is 3^2 / 3^4?
2. Wat is 5^7 - 5^9?
3. Wat is 16^6 / 16^2?

Machten isoleren

Soms staan er in vergelijkingen getallen tot de macht * macht. Hiervan is er vaak één een letter en de ander een getal. Om de vergelijking dan op te lossen is het handig om de twee machten van elkaar te scheiden om daarna het grondgetal tot de macht van het getal uit te rekenen waarna je nog maar één macht overhoudt zoals in het volgende voorbeeld:

• 3^2*P = (3^2)^P

Nu mag je hetgeen wat binnen de haakjes staat uitrekenen.

• (3^2)^P = (9)^P = 9^P

Werken met 9^P is veel handiger en overzichtelijker dan 3^2*P. Abstract kun je deze regel als volgt noteren:

• a^Q*P = (a^Q)^P

Bewijs

Stel Q = 2 en P = 3 dan krijg je:

• 3^2*3 = 3^6 = 729
• (3^2)^3 = 9^3 = 729

Verschillende grondgetallen met dezelfde machten

Soms kun je ondanks de verschillende grondgetallen toch getallen tot een macht samenvoegen, hierbij is wel de voorwaarde dat de machten aan elkaar gelijk zijn. Om dit uit te leggen kun je het best andersom beginnen.

• (a * d)^P = a^P * d^P want (2 * 3)^2 = 2^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36 = 6^2

Als gevolg hiervan kun je ook stellen dat:

• a^P * d^P = (a * d)^P dus 2^P * 3^P = 6^P

Tot de macht nul

Het is belangrijk om te weten wat de uitkomst is van een getal tot de macht nul omdat je door delen of vermenigvuldigen nog wel eens op een getal tot de macht nul uitkomt. Het ziet er niet logisch uit:

• 10^0 = 1

Bewijs

• 10^4 gedeeld door 10 = 10^3
• 10^3 gedeeld door 10 = 10^2
• 10^2 gedeeld door 10 = 10^1 = 10
• 10 gedeeld door 10 = 10^0 = 1

Een moeilijker bewijs gaat als volgt:

• 1 = a^P / a^P want iets / hetzelfde is altijd 1, zie bijvoorbeeld 8 / 8 = 1.
• a^P / a^P = a^(P-P) = a^0
• 1 = a^P / a^P = a^(P-P) = a^0

Tot een negatieve macht positief schrijven

Om dit te kunnen begrijpen moet je a^0 = 1 snappen of gewoon aannemen dat a^0 = 1, want dat gegeven heb je nodig om het volgende te kunnen bewijzen:

• a^-1 = 1 / a
• a^-2 = 1 / a^2

Bewijs

Voor je het bewijs snapt moet je

• 3^3 gedeeld door 3 = 3^2 = 9
• 3^2 gedeeld door 3 = 3^1 = 3
• 3^1 gedeeld door 3 = 3^0 = 1
• 3^0 gedeeld door 3 = 3^-1 = 1/3 = 1 / 3^1
• 3^-1 gedeeld door 3 = 3^-2 = 1/9 = 1 / 3^2

Abstract kun je de bovenstaande stelling als volgt schrijven:

• a^-Q = 1 / a^Q

Wortel als macht schrijven

Bij de uitleg over worteltrekken heb je gezien dat er eigenlijk een twee linksboven de wortel hoort te staan. Van dit feit maak je gebruik om een wortel als een kwadraat te schrijven. Bij een wortel doe je het tegenovergestelde van een macht en om dit na te bootsen als macht doe je in plaats van √a, a^(1/2). Door één te delen door de macht zorg je net als met het worteltrekken voor het omgekeerde effect als een macht. Hierop gebaseerd geldt het volgende:

• X^√a = a^(1/X)

Bewijs

• 3^√512 = 8 = 512^(1/3)

Een overzicht van de zeven regels

1. a^P * a^Q = a^(Q P)
2. a^P / a^Q = a^(P-Q)
3. a^Q*P = (a^Q)^P
4. a^P * d^P = (a * d)^P
5. 1 = a^P / a^P = a^(P-P) = a^0
6. a^-Q = 1 / a^Q
7. X^√a = a^(1/X)

Antwoorden

Opgave 1

1. 5^2 = 5 * 5 =25.
2. 3^4 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81.
3. 7^7 =7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 = 823543.

Opgave 2

1. √4 = 2 want 2 * 2 = 4.
2. √9 = 3 want 3 * 3 = 9.
3. √16 = 4 want 4 * 4 = 16.

Opgave 3

1. 3^√8 = 2 want 2 * 2 * 2 = 8.
2. 4^√4096 = 8 want 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.
3. 6^√32768 = 5,656854249, wat afgerond 5,66 want 5,66^6 = 32768.

Opgave 4

1. 5^3 * 5^4 = 5^(3+4) = 5^7.
2. 2^4 * 3^4 = 2^4 * 3^4 vanwege de verschillende grondgetallen kunnen de machten niet bij elkaar opgeteld worden.
3. 77^21 * 77^34 = 77^(21+34) = 77^55.

Opgave 5

1. 3^2 / 3^4 = 3^(2-4) = 3^-2 = 1/9, zie voor nadere toelichting onder het kopje 'Tot een negatieve macht positief schrijven'.
2. 5^7 - 5^9 = 5^(7-9) = 5^-2 = 1/5^2 = 1/25.
3. 16^6 / 16^2 = 16^(6-2) = 16^4.