Significant rekenen

Heb je ooit een thermometer 21,35836542 °C zien aangeven? Wel eens een fietscomputer gezien die op 19,9248652 km/h stond? En als iemand een lat van een meter lengte in zeven gelijke stukken wil zagen en hij vraagt jou hoe lang die stukken ieder moeten worden, zeg jij dan 14,285714 cm? Natuurlijk niet! Meetinstrumenten kunnen zo nauwkeurig niet aangeven, en op een lat kun je niet zo nauwkeurig potloodstreepjes zetten.

Inleiding.

Als je bij het maken van een som bij biologie, natuurkunde of scheikunde klaar bent met een berekening, heb je op je rekenmachine vaak een venster vol met cijfers. Die mag je dan meestal niet allemaal opschrijven als het antwoord van de som. De reden daarvoor is dat de getallen waarmee je hebt gerekend (ooit een keer) gemeten zijn, dus niet zo nauwkeurig en dan is het antwoord van je berekening ook niet helemaal precies.

Twee voorbeelden

Met een liniaal met cm-streepjes meet je de lengte van een houten plank en die blijkt 200 cm te zijn. Doordat je liniaal geen mm-streepjes had heb je de lengte tenminste afgerond op 200 cm. Het zou een paar mm meer of minder kunnen zijn, hooguit een halve cm meer of minder want anders had je er natuurlijk 199 cm of 201 cm van gemaakt. Je meet ook de breedte, die rond je ook af op hele cm, hij is 50 cm. Vervolgens ga je de oppervlakte van de plank uitrekenen. Je denkt nu waarschijnlijk: die is 200 x 50 = 10.000 cm2 . In principe is dat natuurlijk ook wel het goede antwoord, maar zoals het hier staat mag het niet worden opgeschreven. Zoals het hier staat suggereert het getal namelijk dat het op de cm2 nauwkeurig 10.000 cm2 is. Je weet wel beter: als de lengte tussen 199,5 cm en 200,5 cm in ligt en de breedte tussen 49,5 cm en 50,5 cm, dan zit de oppervlakte tussen 49,5 x 199,5 en 50,5 x 200,5 in. Reken dit zelf maar eens uit. Je ziet dat de oppervlakte wel meer dan 100 cm2 van de 10.000 kan afwijken. Die 10.000 geeft dus een te rooskleurig beeld van de nauwkeurigheid van jouw oppervlaktebepaling.

Nog een voorbeeld: je maakt op dezelfde dag twee ritten op twee verschillende fietsen. Eerst leg je een afstand af die volgens een kaart ongeveer 30 km is, daarna rij je op een andere fiets, die een fietscomputer heeft, een stuk dat 7,13 km lang is. Kun je dan zeggen dat je die dag bij elkaar 37,13 km hebt gefietst? Natuurlijk niet: als het eerste stuk maar ongeveer 30 km was, is de totale afstand ook ongeveer en dan moet je die afstand niet op de 10 m nauwkeurig gaan opschrijven.

We hebben nu twee voorbeelden gezien, waarbij je vooral zag hoe het niet moet. Hierna gaan we kijken hoe het wel moet. Het gaat hierbij om afspraken die er gemaakt zijn over het afronden en opschrijven van getallen, afspraken waaraan ieder die iets aan biologie, natuur- of scheikunde doet zich moet houden.

1. Bij vermenigvuldigingen en delingen.

Als je de uitkomst van een vermenigvuldiging of deling moet gaan opschrijven, moet je rekening houden met het zogenaamde aantal significante cijfers waaruit de getallen waarmee je rekent bestaan. Daaronder verstaan we het totale aantal cijfers, voor en achter de komma bij elkaar, alleen tellen nullen vooraan het getal niet mee:


De regel voor het opschrijven van getallen is nu: kijk voor ieder getal dat je bij de berekening hebt gebruikt uit hoeveel significante cijfers het bestaat, neem van die aantallen het kleinste, met zoveel significante cijfers mag je het antwoord van een vermenigvuldiging of deling opschrijven.

Wat voorbeelden:

Die plank uit de inleiding had een lengte van 200 cm. Dat getal heeft 3 significante cijfers. De breedte was 50 cm. Dat getal bestaat uit 2 significante cijfers. Je gebruikt voor het berekenen van de oppervlakte dus een getal met 3 en een getal met 2 significante cijfers. Het kleinste aantal is 2. Je moet de oppervlakte dus zo opschrijven dat dat getal ook uit slechts 2 significante cijfers bestaat. Je zult denken, hoe moet dat nou bij het getal 10.000, dat getal bestaat gewoon uit 5 cijfers. Maar daar gebruik je een methode voor waar je bij wiskunde al eens mee te maken hebt gehad. Je schrijft het als een combinatie van een getal en een macht van tien: de oppervlakte is 1,0 ∙ 104 cm2. Deze manier van schrijven van getallen wordt wel de wetenschappelijke notatie genoemd.

Een blokje metaal van 6,0 cm x 3,0 cm x 2,0 cm weegt 97,13 g. Hoe groot is de dichtheid?
We berekenen eerst het volume, de inhoud: 6,0 x 3,0 x 2,0 = 36 cm3. Je gebruikt getallen die uit 2 significante cijfers bestaan en je schrijft het antwoord dan ook met 2 significante cijfers, het getal heeft al 2 cijfers voor de komma, dus komt er niets meer achter de komma. Dan deel je die 97,13 g door die 36 cm3 en ook dan mag je maar 2 significante cijfers schrijven: het antwoord is dus 2,7 g/cm3.

Nog een paar voorbeelden zonder toelichting, het gaat om het juiste aantal significante cijfers :
3,7 x 8,8 = 33
3,70 x 8,80 = 32,6
20,0 x 6,00 = 120
20,0 x 6,0 = 1,2 ∙ 102
6,5/0,012 = 5,4 ∙ 102
3,0123456789 x 3 = 9

Vrijwel iedere rekenmachine kun je voor dat je gaat rekenen zo instellen, dat hij afrondt op het aantal significante cijfers dat jij hebt opgegeven en het getal indien nodig met een macht van 10 opgeeft. Dat werkt bij ieder merk en type rekenmachine weer anders. Daarom zullen we daar nu niet verder op ingaan.

2. Bij optellen en aftrekken.

Bij optellen en aftrekken zit het wat anders. Daar gaat het alleen maar om het aantal cijfers achter de komma. Wel gaat het ook dan om het kleinste aantal. Een paar voorbeelden zonder verdere toelichting spreken voor zich:

85 + 7,24 = 92
45 - 36,15 = 9
12,1 + 2,42 = 14,5
15 - 6,13 = 9

3. De combinatie.

De onderstaande voorbeelden spreken waarschijnlijk voor zich:

(85 + 7,24) ∙ 0,395 = 92 ∙ 0,395 = 36
(45 - 36,15)/3,2 = 9/3,2 = 3

4. Bij logaritmen.

Als je het logaritme van 1000,00 zoekt (dwz het getal dat je ‘boven’ tien moet zetten om 1000 te krijgen), krijgt het antwoord evenveel decimalen als je eerste getal significante cijfers heeft.
Voorbeeld 1: Log(1000,00) = 3,000000 (6 significante cijfers worden in het antwoord 6 decimalen)
Voorbeeld 2: log(1000) = 3,0 (1 significant cijfer wordt in het antwoord 1 decimaal)
Voorbeeld 3: 103,25 = 1,8 x 103 met 2 significante cijfers omdat 3,25 maar 2 decimalen heeft.