Wiskunde - radialen

Wanneer je aan de slag gaat met cirkels wordt al snel met het begrip 'radialen' gewerkt. De radiaal is een maat om aan te geven hoe groot een hoek is in een cirkel. Vaak wordt dit aangegeven met behulp van het getal π, dat je uitspreekt als pi. Een cirkel bestaat uit 2π radialen. Voor vergelijkingen, berekeningen en bewegingen met cirkels wordt gebruik gemaakt van de eenheidscirkel.

Radialen en graden

Radialen zijn om te rekenen naar graden, en andersom. De hoek van één cirkelbaan is gelijk aan 360^o. In radialen is de hoek van één cirkelbaan 2π radialen. Wanneer je van radialen naar graden wilt gaan omrekenen kun je dus onthouden dat 2π radialen gelijk is aan 360^o. Als je dat weet weet je ook wat 180^o en 90^o omgerekend in radialen moet zijn.

• 360^o = 2π radialen
• 180^o = π radialen
• 90^o = ½ π radialen
• 45^o = ¼ π radialen

Het getal π

Het getal π is gelijk aan ongeveer 3,14. Met dit getal wordt veel gerekend wanneer er met cirkels gewerkt wordt. Bijvoorbeeld om de omtrek en de inhoud van een cirkel te berekenen heb je π nodig. In bijna elke rekenmachine staat dit getal waardoor je hiermee gemakkelijk kunt rekenen. Doordat je weet welke waarde π heeft kun je ook omrekenen hoeveel graden bijvoorbeeld 1 radiaal is. Dit doe je door 360^o te delen door 2π. Je komt dan ongeveer uit op 57,3^o. Door dit getal te vermenigvuldigen kom je uit op het volgende

• ½ radialen ≈ 28,6^o
• 1 radiaal ≈ 57,3^o
• 2 radialen ≈ 114,6^o
• 3 radialen ≈ 171,9^o
• 4 radialen ≈ 229,2^o
• 5 radialen ≈ 286,5^o
• 6 radialen ≈ 343,8^o

Radialen omgerekend naar graden levert niet hele makkelijke getallen op om mee te rekenen, dat is dan ook de reden waarom radialen meestal met behulp van π worden uitgedrukt.

Voorbeeld 1

Uit hoeveel radialen bestaat een hoek van 34^o?

• Reken uit hoeveel radialen 1^o bestaat
• 2π / 360^o = 1,745 * 10^-2 radialen
• 34^o is dus gelijk aan 34 * ( 1,745 * 10^-2 ) ≈ 0,59 radialen

Voorbeeld 2

Uit hoeveel radialen bestaat een hoek van 217^o?

• Reken uit hoeveel radialen 1^o bestaat
• 2π / 360^o = 1,745 * 10^-2 radialen
• 217^o is dus gelijk aan 217 * ( 1,745 * 10^-2 ) ≈ 3,79 radialen

Voorbeeld 3

Hoeveel graden is een hoek van 1,56 radialen?

• 1 radiaal = 57,3^o
• 1,56 radialen is dus gelijk aan 1,56 * 57,3^o ≈ 89^o

Voorbeeld 4

Hoeveel graden is een hoek van 1¾ π radialen?

• π radialen = 180^o
• 1¾ π radialen is dus gelijk aan 180 * 1¾ = 315^o

Cirkelbeweging

Om een beweging op een cirkelbaan te beschrijven wordt ook gebruik gemaakt van radialen. Hiervoor wordt vaak de eenheidscirkel gebruikt. De eenheidscirkel is een cirkel die op een assenstelsel ligt met middelpunt (0,0). De straal van de eenheidscirkel is 1.

Voorbeeld 5

Wanneer er een punt T over de cirkel beweegt kan door middel van het aantal radialen dat het punt heeft afgelegd bepaald worden waar op de cirkel dit punt zich bevindt. Het punt begint altijd met bewegen vanuit het punt (1,0) op de cirkel. Dit is dus helemaal rechts op de x-as. Vanaf dit punt is de beweging positief wanneer deze tegen de klok in is. Het punt beweegt zich dan dus eerst omhoog. Stel punt T heeft een bepaalde afstand afgelegd, en je wilt nu gaan bepalen waar het zich bevindt. Om te beginnen denk je je een lijn in van punt T naar het middelpunt van de cirkel. De hoek die nu ontstaan is tussen het positieve gedeelte van de x-as en deze lijn noemen we α. Stel dat α ½ π radialen is en je wilt bepalen waar op de cirkel punt T zich nu bevindt. Je kunt dit berekenen met behulp van sinus en cosinus. De waarde die uit sinus komt is het coördinaat op de y-as, en de waarde die uit cosinus komt is het coördinaat op de x-as.

• sinus( ½ π ) = 1
• cosinus ( ½ π ) = 0
• Punt T bevindt zich dus op (0,1)
• Dit is precies de top van de cirkel

Voorbeeld 6

Punt T heeft 5/6 π radialen afgelegd, waar op de cirkel bevindt punt T zich?

• Sinus ( 5/6 π ) = ½
• Cosinus ( 5/6 π ) = - ½√3
• Punt T bevindt zich op ( -½√3, ½ )

Meerdere rondes

Het kan voorkomen dat het aantal afgelegde radialen groter is dan 2 π. Het punt heeft dan dus vaker dan één keer de cirkel doorlopen. Wanneer het punt 3 π radialen heeft afgelegd is hij eigenlijk op dezelfde plek als wanneer hij π radialen afgelegd heeft. Het enige verschil is dat hij bij 3 π radialen al een rondje erop heeft zitten, en bij π radialen is het zijn eerste rondje. Bij de berekening kun je dan gebruikmaken van π, maar ook van 3 π. Hier komt dan namelijk hetzelfde antwoord uit. Hetzelfde geldt voor 5 π, 7 π, 9 π enzovoort.

Voorbeeld 7

Punt T heeft 3½ π radialen afgelegd, waar op de cirkel bevindt punt T zich?

• Eén rondje is gelijk aan 2 π radialen, dus 3½ π - 2 π = 1½ π
• Sinus ( 1½ π ) = -1
• Cosinus ( 1½ π ) = 0
• Punt T bevindt zich op (0,-1)