Exponentiële formule opstellen met een bekende groeifactor

Exponentiële groei komt vaak voor als iets met een bepaald percentage per jaar groeit. Een voorbeeld hiervan is een vast rentepercentage op een spaarrekening, procentuele groei van de wereldbevolking of economische groei (of krimp). Dit artikel behandelt het opstellen van een formule voor exponentiële groei wanneer de groeifactor (of het percentage groei) bekend is. Er bestaan verschillende typen sommen waarin exponentiële formules moeten worden opgesteld. Dit artikel behandelt de variant waar de groeifactor bekend is en op een punt in de tijd de afhankelijke- en onafhankelijke variabele bekend zijn.

In een exponentiële vergelijking wordt een bepaald getal “tot de macht” een ander getal gedaan. Machtsverheffen is het aantal maal dat je het getal met zichzelf vermenigvuldigt. Dit wordt aangeduid met een “^”. Als voorbeeld:

3^2 = 3*3 = 9
3^4 = 3*3*3*3 = 81

Het opstellen en oplossen van een som met een exponentiële vergelijking zoals boven beschreven bestaat uit de volgende 6 stappen:

• Stap 1: Schrijf de formule y = b*g^t op en schrijf onder elkaar “y =”; “t =”; “g =” en “b =”
• Stap 2: Bepaal wat er berekend moet worden en vul dit in voor y
• Stap 3: Bepaal waarvan y (wat berekend moet worden) afhankelijk is en vul dit in voor t
• Stap 4: Bepaal de groeifactor en vul dit in voor g
• Stap 5: Bepaal de waarde voor b door de gegeven waarde voor y en t in te vullen in de formule
• Stap 6: Stel de vergelijking op
• Stap 7: (indien van toepassing) Los de vergelijking op

Hoe een exponentiële vergelijking moet worden opgesteld aan de hand van dit stappenplan zal door middel van een voorbeeld worden uitgelegd.

“Het aantal mensen op de wereld neemt elk jaar exponentieel met 4% toe. In 2005 waren er 6515 miljoen mensen mensen op de wereld. Stel de formule op van het aantal miljoenen mensen op de wereld M in het jaar J, met J = 0 in 2000. Bereken hoeveel mensen er in 2050 zijn (bij J = 50). ”

Stap 1: Het opschrijven van de vergelijking

Schrijf zoals beschreven in het stappenplan (boven) het volgende op:

y = b*g^t

y =

t =

g =
b =

Stap 2: Bepalen wat er berekend moet worden

In deze vraag wordt gevraagd het aantal mensen M te berekenen. Dit vullen we in voor y. Dus:

y = M

t =
g =
b =

Stap 3: Het variabele deel bepalen

In deze vraag het aantal mensen M afhankelijk van het aantal jaren J vanaf 2000. Dit vullen we in voor t. Dus:
y = M

t = J

g =
b =

Stap 4: Het bepalen van de groeifactor

In de vraag wordt gegeven dat de wereldbevolking jaarlijks met 4% groeit. De groeifactor kan je dan bepalen met de volgende formule:

g = 1 + (procentuele groei/100%)

Vullen we bij procentuele groei de 4% in, kunnen we de groeifactor als volgt berekenen:

g = 1 + (procentuele groei/100%) =1 + (4%/100%) = 1,04

Dus:
y = M
t = J

g = 1,04

b =

Stap 5: Het bepalen van de beginwaarde

De beginwaarde b kunnen we uitrekenen de gegeven waardes voor y (hetzelfde als M), t (hetzelfde als J) en g in te vullen in de formule en op te lossen voor b. In de vraag is gegeven dat in 2005 (J is gelijk aan 5) het aantal miljoenen mensen M gelijk is aan 6515. We hebben dus de formule y = b*g^t, waarin we M = y = 6515, J = t = 5 en g = 1,04 (uit stap 4) kunnen invullen:

y = b*g^t wordt M = b*g^J wordt 6515 = b * 1,04^5

Nu moeten we oplossen voor b. Dit geeft:

6515 = b * 1,04^5 wordt 6515 = b*1.217 wordt b = 6515/1.217 = 5355

b is dus 5355. Dus:

y = E
t = J
g = 1,04
b = 5355

Stap 6: Het opstellen van de vergelijking

Nu alle onderdelen van de vergelijking bekend zijn kunnen we het exponentieel verband tussen het aantal mensen M en het aantal jaren na 2000 J opstellen. We combineren de formule y = b*g^t met het lijstje onderaan stap 5. Dus:

y = b*g^t wordt M = 5355*1,04^J

Stap 7: Het oplossen van de vergelijking

Er wordt gevraagd hoeveel mensen M er op te wereld zijn in het jaar 2050 (J=50). Dit kan worden uitgerekend door de opgestelde formule in stap 6 in te vullen met J = 50. Dus:

J = 50 invullen in M = 5355*1,04^J geeft M = 5355*1,04^50 = 5355 * 7,107 = 38055

In 2050 zijn er dus (volgens deze formule) 38055 miljoen mensen op de wereld, iets meer dan 38 miljard dus.