Wiskunde grafieken en functies

Functies en grafieken vormen een hoofdbestanddeel van de wiskunde. Dit artikel legt op eenvoudige wijze uit hoe functies tot stand komen en hoe ze gebruikt worden. Eerst zal het begrip variabele worden uitgelegd. Een functie wijst een waarde toe aan een variabele. Zo ontstaat er een nieuwe variabele. Het verband tussen de twee variabelen wordt beschreven door de functie. Een functie kan worden gevisualiseerd in een grafiek. Dit maakt het verband op eenvoudige wijze inzichtelijk.

Pak koffie

Aantal pakken koffie	Euro
1	2
2	4
3	6
4	8
....	.....
10	20

Stel je wilt een pak koffie kopen in de supermarkt. Een pak koffie kost € 2,= Je hebt veel geld op zak en je zou ook kunnen besluiten meerdere pakken koffie te kopen voor de komende weken. Als een pak koffie € 2,= kost, dan kosten 2 pakken koffie € 4,=, 3 pakken koffie € 6,=, en 4 pakken koffie € 8,= enz....
Deze gegevens zetten we in een tabel (zie hiernaast) om het overzichtelijk te maken.

De .... in de tabel betekent: we tellen gewoon door tot de volgende waarde (in dit geval 10 pakken koffie). We kunnen nu het aantal pakken koffie een naam geven. Het aantal pakken koffie noemen we variabele x. Een andere schrijfwijze voor 3 pakken koffie is 'x=3'. Ook het bedrag aan euro's geven we een naam: variabele y. We schrijven € 6,= bijvoorbeeld als 'y=6'.

In de wiskunde worden getallen vaak gevisualiseerd door ze in een grafiek te plaatsen. De achtergrond van een grafiek is samengesteld uit:

• Een horizontale as: de x-as
• Een verticale as: de y-as

De x-as is onderverdeeld in getallen, deze zijn aangegeven door streepjes. Voor het eerste streepje geldt: 'x=1'. Dit betekent dat de waarde van de variabele x op dat punt precies gelijk is aan '1'. De afspraak is dat overal op de verticale lijn door dat punt geldt dat: x=1. Op dezelfde wijze is de y-as gedefiniëerd. Voor het eerste streepje op de y-as geldt: 'y=1'. De afspraak is dat overal op de verticale lijn door dat punt, geldt dat: y=1. We kunnen nu een punt aangeven in de grafiek door een dikke stip. Het punt J in de grafiek hiernaast is geplaatst precies op de plaats waarvoor geldt: x=2 en y=1. Men schrijft dit ook wel als J (2,1). De getallen x=2 en y=1 noemt men ook wel de coördinaten van punt J.
We kunnen nu het kopen van de pakken koffie aanbrengen in de grafiek. We geven het aantal pakken koffie de naam 'x' en het bedrag in euro's de naam 'y'. Je kunt 2 pakken koffie voor € 4,= kopen. Het punt P (2,4) geeft deze koop aan. In de grafiek is dit punt aangegeven met de dikke zwarte stip.

Grafiek

Nu kunnen we alle punten die in de bovenstaande tabel aangegeven zijn, onderbrengen in de grafiek. Wanneer alle punten zijn aangebracht trekken we er een rechte lijn doorheen. Zo ontstaat de grafiek van hiernaast.
Het aantal pakken koffie is nu variabele x, het betaalde bedrag variabele y. De grafiek die deze aankoop voorstelt, noemt men ook wel functie. De functie kent aan elke variabele x precies één variabele y toe. Men kan onze functie ook schrijven als y = 2x of f(x) = 2x. Een kenmerk van een functie is dat voor elke waarde van variabele x er precies één waarde van variabele y is. Het is bijvoorbeeld onmogelijk dat je voor een bepaald aantal pakken koffie twee of drie verschillende prijzen betaald (in dezelfde winkel).

Lineaire functie's

Bovenstaande functie is een voorbeeld van een lineaire functie. Zo'n functie ziet er in het algemeen zo uit: y = ax + b. De 'b' is geen variabele, want het getal 'b' is altijd hetzelfde. Men noemt dit een constante. In een grafiek ziet een dergelijke functie eruit als een rechte lijn. Stel we willen opnieuw een aantal pakken koffie kopen en we kopen er nu één pak suiker van € 1,= bij. Het bedrag dat we moeten betalen kunnen we als volgt in een functie zetten: y = 2x + 1. De grafiek van deze functie is afgebeeld hiernaast. Het lijkt erg op de functie y = 2x; nu zijn alle waarden van variabele y echter 1 hoger. Wanneer we besluiten om geen enkel pak koffie te kopen, hoeven we alleen maar x=0 in te vullen in de functie f(x). Het bedrag dat we moeten betalen is dan y = 2*0 + 1 = 1. We betalen alleen een pak suiker van € 1,=. In de grafiek is dit het punt P (0,1); dit punt is eenvoudig af te lezen als de rechte lijn wordt doorgetrokken tot x=0. Dit noemt men extrapoleren.

Zie ook

Integreren en oppervlakte
Afgeleide en differentiëren
Snijpunten bepalen