Wiskunde integreren en oppervlakte

Het differentieren en integreren van functies zijn de steunpilaren van de wiskunde. Vooral in de natuurkunde en elektrotechniek is integreren dagelijkse kost. De afgeleide geeft een indicatie van stijging/daling in een zeker punt. De integraal geeft een indicatie van een zeker 'totaal', dat de functie bijvoorbeeld in de tijd heeft bewerkstelligt. Dit is eenvoudig zichtbaar te maken door naar het oppervlak tussen de grafiek en de horizontale as te kijken.

De integraal

Het bepalen van de integraal van een zekere functie wordt integreren genoemd. Integreren is een van de belangrijkste wiskundige operatie's die in de wetenschap worden gebruikt. Het werd ongeveer gelijktijdig uitgevonden in de 17e eeuw door Leibnitz en Newton.

Wanneer de snelheid van een hardloper op elk moment bekend is, dan kan de afgelegde afstand binnen een zekere tijd, berekend worden met de integraal-rekening. Om deze afstand te bepalen kunnen we de snelheid van de hardloper vermenigvuldigen met de tijd waarin hij hardgelopen heeft: s = v x t.

Stel dat de snelheid van de hardloper niet constant is geweest, maar variabel; in het begin liep hij harder dan aan het eind. We kunnen nu de afstand bepalen door de tijd te verdelen in keine stukjes Δt, en telkens voor een klein stukje de vermenigvuldiging uit te voeren. Voor de snelheid nemen we de snelheid ten tijde van Δt:
Δs = v(t) x Δt.
De totaal afgelegde afstand wordt dan:
s = Σ Δs = Σ v(t) x Δt

Laten we de hardloper als voorbeeld nemen: in totaal loopt hij 1 uur. In het eerste 1/2 uur bedraagt zijn snelheid 15 km/uur en in het tweede 1/2 uur 10 km/uur. Dan zal de totaal afgelegde afstand zijn: s = Δs1 + Δs2 = v1(t) x Δt1 + v2(t) x Δt2 = 15 x 0,5 + 10 x 0,5 = 7,5 + 5 = 12,5 km.

Σ betekent sommeren of optellen. Deze sommatie is een voorbeeld van integraal-rekening. Wanneer we Δt steeds kleiner kiezen, zal de uitkomst steeds nauwkeuriger zijn. Daarom neemt men in de wiskunde de limiet van Δt--> 0.
De algemene notatie in de wiskunde van een integraal is:
∫ f(x) dx
In wiskundige taal kunnen we stellen:


Men geeft hiermee aan dat er een sommatie wordt uitgevoerd van oneindig kleine stukjes f(x)dx. De dx stelt een oneindig klein stukje voor op de x-as. Een integraal wordt meestal berekend tussen twee punten; bijvorbeeld tussen x=a en x=b. Dit noemt men een interval.

Oppervlakte

Wanneer we de integraal-rekening visueel maken, dan is eenvoudig in te zien dat de bovenstaande integraal het oppervlak tussen de functie f(x) en de x-as weergeeft (op een bepaald interval). Als interval nemen we x=0 tot x=7. Als Δx=1 dan voeren we in totaal 8 keer de vermenigvuldiging f(x)Δx uit. Dit is indentiek aan 8 keer een klein stukje oppervlakte tussen f(x) en de x-as. We gaan ervan uit dat f(x) op een klein stukje interval constant is. De totale integraal, of het totale oppervlak, is gelijk aan de som van deze 8 oppervlaktes. Een dergelijke som noemt men ook wel Riemann-som. Uiteraard is de som het nauwkeurigst, wanneer de stukjes Δx zo klein mogelik gekozen worden. Dit is het geval wanneer we ∫f(x)dx bepalen.
Wanneer men een computer integralen laat berekenen en oplossen, kiest de computer vaak voor een Riemann-som. Een computer is uitermate geschikt om veel berekeningen zeer snel achter elkaar uit te voeren: de som van Σ f(x) * Δx kan voor zeer veel kleine stukjes Δx eenvoudig berekend worden. Er bestaan echter ook veel standaardfuncties met standaardoplossingen voor bepaalde integralen. Voor zo'n standaardoplossing gebruikt men de functie die ook wel primitieve wordt genoemd.

Bekende primitieven

De integraal van een zekere functie noemt men ook wel primitieve, en wordt aangeduid als F(x). De afgeleide van F(x) is precies geliijk aan f(x). Dus eigenlijk is integreren het 'omgekeerde' van differentieren.
Wanneer we op interval [a,b] de integraal moeten bepalen van de functie f(x) dan geldt:

• ∫ f(x)dx, op x [a,b] = F(a) - F(b)
• d/dx F(x) = F'(x) = f(x)

Van de gangbare wiskundige functie's zijn de primitieven bekend. Het dakje ^ betekent 'tot de macht', en a en b zijn constanten:

• a --> ax + b
• nx^(n-1) --> x^n + b
• 1/x --> ln(x) + b
• cos(x) --> sin(x) + b
• -sin(x) --> cos(x) + b
• 1/cos²(x) --> tan(x) + b
• e^x --> e^x + b
• ln(a)a^x --> a^x + b

Bekende toepassingen

• Het integreren van snelheid naar de tijd levert de verplaatsing
• Het integreren van de versnelling naar de tijd levert de snelheid
• Het integreren van de elektrische stroom naar de tijd levert de lading
• Het integreren van de elektrische veldsterkte naar de plaats levert de spanning
• Het integreren van de vermogen naar de tijd levert de arbeid

Lees verder

• Wiskunde de afgeleide en differentiëren
• Wiskunde functieonderzoek
• Differentiaalvergelijkingen en Laplace