Wiskunde de afgeleide en differentiëren

De afgeleide van een functie f(x) geeft ons informatie over het hoe snel de grafiek stijgt of daalt in een zeker punt. Het geeft de waarde van de richtingcoefficient van de raaklijn in dat punt aan. Het bepalen van de afgeleide is een essentieel onderdeel van de wiskunde. Het wordt toegepast in natuurkunde, elektrotechniek, statistiek, en economie. Dit artikel laat voorbeelden zien van afgeleide's van bekende, veelgebruikte functie's.

De afgeleide

Het bepalen van de afgeleide van een zekere functie wordt differentiëren genoemd. Differentieren is een van de belangrijkste wiskundige operatie's die in de wetenschap worden gebruikt. Het is ongeveer gelijktijdig uitgevonden door de Newton en Leibnitz in de 17e eeuw. De afgeleide functie geeft informatie over het hellingspercentage van de raaklijn aan de grafiek. Stel we willen weten hoe snel de grafiek stijgt in punt P (zie figuur hiernaast). De raaklijn aan de grafiek door punt P geeft precies de hellingshoek aan. Voor het bepalen van deze hoek moeten we het toename in de y-richting delen op de toename in de x-richting: Δy/Δx.

De toename in de x-richting, Δx, zorgt voor de toename in de y-richting:

• Δy/Δx = [f(x+Δx)-f(x)] / Δx.
• We kunnen nu Δx als een oneindig klein stukje toename voorstellen door de limiet te nemen van Δx-->0.
• Zo ontstaat de afgeleide f'(x) = df(x)/dx = lim Δx-->0 [Δy/Δx].

De afgeleide van de functie f(x) wordt ook wel aangeduid als f'(x) of df(x)/dx of d/dx f(x).

Een bekende afgeleide in de natuurkunde is snelheid. Wanneer we de verplaatsing als functie van de tijd differentiëren naar de tijd krijgen we de snelheid: v(t) = dx(t)/dt. De versnelling is op zijn beurt weer de afgeleide van de snelheid: a(t) = dv(t)/dt.

Bekende afgeleide's

Voor het bepalen van de afgeleide functie's gelden een aantal rekenregels. Daarnaast zijn de afgeleide's van de meest voorkomende functie's bekend. Het dakje ^ betekent 'tot de macht', en a betekent een constante.

• ax' = a
• a' = 0
• x^n' = nx^(n-1)
• ln(x)' = 1/x
• sin(x)' = cos(x)
• cos(x)' = -sin(x)
• tan(x)' = 1/cos²(x)
• e^x' = e^x
• a^x' = ln(a)a^x

Rekenregels

Voor het differentiëren van samengestelde functies's gelden de volgende rekenregels:
lineariteit

• [ af(x) ]' = af'(x)
• [ f(x) + g(x) ]' = f'(x) + g'(x)

productregel

• [ f(x)g(x) ]' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)

quotientregel

• [ f(x)/g(x) ]' = ( f'(x)g(x) - g'(x)f(x) ) / g²(x)

kettingregel

• [ f(g(x)) ]' = f'(g(x)) g'(x)

Lees verder

• Wiskunde integreren en oppervlakte
• Wiskunde functieonderzoek
• Differentiaalvergelijkingen en Laplace