De volgorde van rekenkundige bewerkingen

Wanneer er in een opgave meerdere rekenkundige bewerkingen voorkomen, is de correcte volgorde van bereken van cruciaal belang om tot het juiste antwoord te komen. Wat is de juiste volgorde? Welke bewerkingen krijgen voorrang op de andere en gaat Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord, het bekende ezelsbruggetje dat veel kinderen vroeger op school leerden, nog op?

Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord

Rond 1850 werd de methode Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord gedoceerd door hoogleraar in de wiskunde Ghijben. Hij doceerde cadetten op de militaire academie. Zijn methode werd aan het eind van de negentiende eeuw overgenomen door dhr. Versluys, een hoofdonderwijzer, die deze verwerkte in een boek voor het lager onderwijs. Het ezelsbruggetje is als volgt:

• Meneer – Machtsverheffen
• Van – Vermenigvuldigen
• Dalen – Delen
• Wacht – Worteltrekken
• Op – Optellen
• Antwoord – Aftrekken

Er was destijds al twijfel over de juistheid van deze manier van rekenen, omdat rekenkundige opgaven tot verschillende antwoorden konden leiden. Desalniettemin werd het ezelsbruggetje Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord tot het begin van de jaren negentig aangeleerd om de volgorde van uitrekenen makkelijk te kunnen onthouden.

Wat klopt er niet meer aan deze methode?

Haakjes

Ten eerste ontbreekt er iets in Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord, namelijk de haakjes. Wanneer er haakjes in een bewerking voorkomen, hebben deze altijd de hoogste prioriteit! Dit blijkt niet uit het ezelsbruggetje.

Voorbeeld:
(9+1)x4
Volgens Meneer Van Dalen is het antwoord 13, namelijk eerst 1x4 en dan +9. Het juiste antwoord is 40, namelijk eerst de bewerking tussen de haakjes (9+1) en daarna maal 4.

Tekenwisseling

De tekenwisseling komt ook niet terug in dit ezelsbruggetje. Dit kan tot verwarring leiden, want de uitkomst van een opgave scheelt nogal wanneer je de tekenwisseling wel toepast.

Voorbeeld:
Het antwoord op -3², is dat 9 of -9? Machtsverheffen komt voor tekenwisseling, dus het juiste antwoord is -9. Eerst 3² en dan het minteken ervoor en dus niet -3x-3, wat 9 als uitkomst heeft.

Verkeerde volgorde

Ook gaat vermenigvuldigen volgens Meneer Van Dalen voor worteltrekken. Dit is tegenwoordig niet meer correct. Worteltrekken gaat voor vermenigvuldigen en staat gelijk aan machtsverheffen qua volgorde.

Voorbeeld:
Zo was het antwoord op √9x3 destijds, met het ezelsbruggetje, √27 of afgerond op twee decimalen 5,20, terwijl het juiste antwoord hedendaags 9 is. (Eerst de wortel van 9 en dan vermenigvuldigen, 3x3=9).

Voorrang?

Wat onduidelijkheid kan geven is dat Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord doet vermoeden, dat vermenigvuldigen voorrang heeft op delen en dat optellen voorgaat op aftrekken. Dit is niet correct. Vermenigvuldigen en delen zijn gelijkwaardig aan elkaar en dienen in de volgorde van de opgave, dus van links naar rechts uitgevoerd te worden. Hetzelfde geldt voor optellen en aftrekken.

Voorbeeld:
7-3+3
Als optellen voor aftrekken zou gaan, is het antwoord op deze opgave 1. Wanneer je de volgorde van links naar rechts aanhoudt, kom je uit op 7, wat het juiste antwoord is.

De afschaffing van Meneer Van Dalen

In de jaren zestig van de twintigste eeuw zijn er internationale afspraken gemaakt omtrent de volgorde van rekenkundige bewerkingen. Dit had vermoedelijk te maken met de programmeertaal die in ontwikkeling was voor latere computers. Pas in 1992 werd Meneer Van Dalen niet meer toegepast in het onderwijs. Ondanks deze afschaffing jaren geleden is er tot op heden nog steeds onduidelijkheid over het op correcte manier uitwerken van een opgave met verschillende bewerkingen.

De correcte manier om met bewerkingen om te gaan

Meneer Van Dalen is niet meer van toepassing, maar hoe zit het nu wel? De volgorde die internationaal bepaald is, zorgt dat er op elke opgave maar een antwoord mogelijk is. De correcte volgorde is:

• Haakjes
• Machtsverheffen/Worteltrekken
• Tekenwisseling
• Vermenigvuldigen/Delen
• Optellen/Aftrekken

Wat tegenwoordig nog wel eens gebruikt wordt op basisscholen is de zin: Hoe Moeten Wij Toch Van Die Onvoldoendes Afkomen? Het enige nadeel hiervan is dat hier niet uit naar voren komt dat machtsverheffen en worteltrekken, vermenigvuldigen en delen en optellen en aftrekken gelijkwaardige prioriteit hebben en van links naar rechts dienen te worden uitgevoerd.